Els punts on les equacions es trenquen

Obre una aixeta i deixa caure l’aigua amb calma. Durant uns instants, el raig forma un cilindre llis i uniforme, perfecte i previsible. Però arriba un moment en què el fil s’estreny tant que es trenca i es transforma en gotes. Aquest instant, on el comportament canvia de manera abrupta, és un reflex del que en matemàtiques i física s’anomena singularitat: un punt on les regles habituals deixen de funcionar. És aquí on la nostra intuïció falla, però les equacions ens poden explicar què passa si sabem on i com mirar.

Les Equacions Diferencials en Derivades Parcials, conegudes com a EDP, són el llenguatge amb què escrivim la majoria de les lleis físiques. Des del moviment dels fluids fins a la propagació de la calor o de les ones, permeten descriure un sistema i preveure com evolucionarà en l’espai i el temps. Tot i això, darrere d’aquesta predicció s’amaga una pregunta fonamental: fins a quin punt poden descriure la realitat? Quin és el límit entre el que podem calcular i el que escapa a les seves prediccions? 

La singularitat és precisament això: un punt on una magnitud esdevé infinita o un canvi sobtat fa que el model matemàtic deixi de ser vàlid. Tornant al raig d’aigua: mentre baixa uniforme, les equacions funcionen fantàsticament bé, pots predir la velocitat i la pressió de l’aigua en qualsevol punt.  És un sistema “amable” i estable. Però quan el raig es trenca en gotes, el seu radi esdevé zero i la seva curvatura es dispara cap a l’infinit. Aquest és l’instant exacte on la matemàtica tradicional deixa de funcionar i es produeix la singularitat. 

Els problemes d’EDP amb interfícies mòbils són especialment interessants. Un exemple clàssic és el gel que es fon en aigua. Aquesta frontera entre sòlid i líquid canvia constantment i es va descriure matemàticament per primera vegada l’any 1831, amb el Problema de Stefan. Durant gairebé dos segles, els matemàtics tenien una EDP per explicar aquest procés físic, i sabien que podien aparèixer singularitats, però no se’n comprenia l’abast ni la freqüència.

Una recerca recent ha resolt aquest misteri. L’equip liderat per Xavier Ros-Oton, investigador ICREA a la Universitat de Barcelona, juntament amb Alessio Figalli, guardonat amb la Medalla Fields el 2018, i Joaquim Serra, professor a l’ETH de Zúric, ha demostrat, en un estudi publicat a la revista Journal of the American Mathematical Society, que tot i que poden aparèixer singularitats en la frontera entre el gel i l’aigua, aquestes són extremadament rares. La major part de la interfície evoluciona de manera regular i previsible, la qual cosa confirma la robustesa del model.

És com si, en el raig d’aigua, només en punts molt concrets el fil es trenqués; la resta del temps l’aigua es comporta tal com prediu el model. Aquesta observació té aplicacions pràctiques molt rellevants. En molts processos industrials i biomèdics, controlar la formació de gel és essencial. Quan congelem aliments o teixits biològics, el front de congelació avança. Si aquest front generés singularitats, es formarien cristalls punxeguts que podrien trencar cèl·lules, alterant la textura dels aliments o comprometent la viabilitat dels teixits. Les singularitats no es poden calcular, però poder assegurar que seran molt poc freqüents permet confiar en els models i dissenyar processos més segurs i eficients.

Aquest treball també ha tingut un altre vessant innovador. Per resoldre el Problema d’Stefan, els autors van haver de desenvolupar noves tècniques dins la Teoria de la Mesura Geomètrica, eines que amplien el repertori metodològic de la matemàtica aplicada i que seran útils per estudiar altres fenòmens naturals, obrint nous camins per a la recerca matemàtica, on comprendre el que falla és tan important com entendre el que funciona.